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ACTIVIDAD 5 DE LECTURA Y REDACCIÓN.
Lea la Historia de la Geometría primero y a continuación elabore un mapa conceptual que incluya las diferentes etapas de esta Historia, resaltando los aspectos más importantes de la lectura, no omita ningún período de lo anterior.
Suerte.
Es razonable pensar que los primeros orígenes de la Geometría
se encuentran en los mismos orígenes de la humanidad, pues seguramente el hombre
primitivo clasificaba -aun de manera inconsciente- los objetos que le rodeaban
según su forma. En la abstracción de estas formas comienza el primer
acercamiento -informal e intuitivo- a la Geometría.
Las primeras civilizaciones mediterraneas adquieren poco a poco
ciertos conocimientos geométricos de caracter muy práctico. Estos son
esencialmente algunas fórmulas -o mejor dicho algoritmos expresados en forma de
""receta""- para calcular areas y longitudes. La finalidad era práctica, pues se
pretendía con ello calcular la producción proporcional de las parcelas de tierra
para determinar los impuestos, o reconstruir las parcelas de tierra después de
las inundaciones. Siempre se ha dicho que los egipcios tenían una alta formación
matemática, y se ha llegado a insinuar que tuvieran un acervo de conocimientos
secretos o que se hubieran perdido con el paso de los tiempos. Estas hipótesis
nunca han sido confirmadas, y los documentos existentes tienden a echarlas por
tierra. La Historia nos hace pensar que el conocimiento que esta civilización
-así como los de las culturas mesopotámicas- tuviera sobre Geometría pasó
integramente a la cultura griega a traves de Tales, los pitagóricos, y
esencialmente de Euclides.
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En efecto, Tales permaneció en Egipto una larga temporada de
su vida, aprendiendo de los sacerdotes y escribas egipcios todo lo referente a
sus conocimientos en general, y estos quedaron asombrados cuando fue capaz de
medir la altura de la Pirámide de Keops y de predecir un eclipse solar.
La Geometría Griega fue la primera en ser formal. Parte de los
conocimientos concretos y prácticos de las civilizaciones egipcia y
mesopotámicas, y da un paso de abstracción al considerar los objetos como entes
ideales -un cuadrado cualquiera, en lugar de una pared cuadrada concreta, un
círculo en lugar del ojo de un pozo...- que pueden ser manipulados mentalmente,
con la sola ayuda de la regla y el compás. Aparece por primera vez la
demostración como justificación de la veracidad de un conocimiento, aunque en un
primer momento fueran más justificaciones intuitivas que verdaderas
demostraciones formales.
La figura de Pitágoras y de la secta por él creada (los
pitagóricos) tiene un papel central, pues eleva a la categoría de elemento
primigenio el concepto de número (filosofía que de forma más explícita o más
implícita, siempre ha estado dentro de la Matemática y de la Física),
arrastrando a la Geometría al centro de su doctrina -en este momento inicial de
la historia de la Matemática aun no hay una distinción clara entre Geometría y
Aritmética-, y asienta definitivamente el concepto de demostración (éste ya sí
coincide con el concepto de demostración formal) como única vía de
establecimiento de la verdad en Geometría.
Esta actitud permitió (aun fuera de la secta) la medición de la
tierra por Eratóstenes, así como la medición de la distancia a la luna, y la
invención de la palanca por Arquímedes, varios siglos después.
En el seno de la secta de los pitagóricos surge la primera crisis
de la Matemática: la aparición de los inconmensurables, pero esta crisis es de
caracter más aritmético que geométrico.
Surge entonces un pequeño problema a nivel lógico, que consiste en
lo siguiente: una demostración parte de una o varias hipótesis para obtener un
resultado denominado tesis. La veracidad de la tesis dependerá de la validez del
razonamiento con el que se ha extraido (esto será estudiado por Aristóteles al
crear la Lógica) y de la veracidad de las hipótesis. Pero entonces debemos de
partir de hipótesis ciertas para poder afirmar con rotundidad la tesis. Para
poder determinar la veracidad de las hipótesis, habrá que considerar cada una
como tesis de otro razonamiento, cuyas hipotesis deberemos también comprobar. Se
entra aparentemente en un proceso sin fin en el que, indefinidamente, las
hipótesis se convierten en tesis a probar.
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Euclides, vinculado al Museo de Alejandría y a su Biblioteca,
zanja la cuestión al proponer un sistema de estudio en el que se da por sentado
la veracidad de ciertas proposiciones por ser intuitivamente claras, y deducir
de ellas todos los demás resultados. Sus sitema se sintetiza en su obra cumbre,
""Los Elementos"", modelo de sistema axiomático-deductivo. Sobre tan sólo cinco
postulados y las definiciones que precisa construye toda la Geometría y la
Aritmética conocidas hasta el momento. Su obra, en 13 volúmenes, perdurará como
única verdad geométrica hasta entrado el siglo XIX.
Entre los postulados en los que Euclides se apoya hay uno (el
quinto postulado) que trae problemas desde el principio. Su veracidad está fuera
de toda duda, pero tal y como aparece expresado en la obra, muchos consideran
que seguramente puede deducirse del resto de postulados. Durante los siguientes
siglos, uno de los principales problemas de la Geometría será determinar si el V
postulado es o no independiente de los otros 4, es decir, si es necesario
considerarlo como un postulado o es un teorema, es decir, puede deducirse de los
otros, y por lo tanto colocarse entre el resto de resultados de la
obra.
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Euclides casi cierra definitivamente la Geometría griega - y
por extensión la del mundo antiguo y medieval-, a excepción de la figura de
Arquímedes, que estudió ampliamente las secciones cónicas, introduciendo en la
Geometría las primeras curvas que no eran ni rectas ni
circunferencias.
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LOS TRES
PROBLEMAS DE LA ANTIGUEDAD |
La Geometría griega es incapaz de resolver tres famosos
problemas que heredarán los matemáticos posteriores. Es importante observar que
los tres problemas deben ser resueltos utilizando únicamente la regla y el
compás, únicos intrumentos (además del papel y el lápiz, por supuesto) válidos
en la Geometría de Euclides. Además de los tres problemas, la disputa de si el V
postulado era o no un teorema (de si se podía o no deducir de los otros cuatro)
también se considera uno de los problemas clásicos de la Geometría griega. Estos
tres problemas son los siguientes
La duplicación en el cubo
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Cuenta la leyenda que la peste asolaba la ciudad de Atenas. Una embajada
de la ciudad fue al Oráculo de Delfos, consagrado a Apolo, para consultar con la
pitonisa qué se debía hacer para erradicar la mortal enfermedad. La pitonisa,
tras consultar al Oráculo, dijo que se debía duplicar el altar consagrado a
Apolo en la isla de Delos. El altar tenía una peculiaridad: su forma cúbica.
Prontamente, los atenienses construyeron un altar cúbico en el que las medidas
de los lados eran el doble de las medidas del altar de Delos, pero la peste no
cesó. Consultado de nuevo el Oráculo, la pitonisa advirtió a los atenienses que
el altar no era el doble de grande, sino 8 veces mayor, puesto que el volumen
del cubo es el cubo de su lado ((2l)3 = 8l3). Nadie supo
cómo construir un cubo cuyo volumen fuese exactamente el doble del volumen de
otro cubo dado, y el problema persistió durante siglos. |
La trisección del ángulo
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Este problema consiste en conseguir dividir un ángulo dado cualquiera en
tres ángulos iguales, de manera que la suma de las medidas de los nuevos tres
ángulos sea exactamente la medida del primero. Nadie supo cómo
hacerlo. |
La cuadratura del círculo
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Se trata de obtener, dado un círculo, un cuadrado cuya area mide
exactamente lo mismo que el area del círculo. Anaxágoras fue el primero en
intentar resolverlo, dibujando en las paredes de su celda cuando fue hecho
prisionero por cuestiones políticas. Tampoco pudo ser resuelto por los geómetras
de la antigüedad, y llegó a ser el paradigma de lo imposible. Como curiosidad,
el filósofo inglés Hume llegó a escribir un libro con supuestos métodos para
resolver el problema. Hume no tenía conocimientos matemáticos serios, y nunca
aceptó que todos sus métodos fallaban. |
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Durante los siguientes siglos la Matemática comienza nuevos
caminos - Álgebra y Trigonometría - de la mano de indios y árabes, y la
Geometría apenas tiene nuevas aportaciones, excepto algunos teoremas de caracter
más bien anecdótico. En Occidente, a pesar de que la Geometría es una de las
siete Artes Liberales (encuadrada concretamente en el Quadrivium), las escuelas
y universidades se limitan a enseñar ""Los Elementos"", y no hay aportaciones,
excepto tal vez en la investigación sobre la disputa del V postulado. Si bien no
se llegó a dilucidar en este periodo si era o no idependiente de los otros
cuatro, sí se llegaron a dar nuevas formulaciones equivalentes de este
postulado.
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Es en el Renacimiento cuando las nuevas necesidades de
representación del arte y de la técnica empujan a ciertos humanistas a estudiar
propiedades geométricas para obtener nuevos intrumentos que les permitan
representar la realidad. Aquí se enmarca la figura del matemático y arquitecto
Lucca Pacioli, de Leonardo da Vinci o de Alberto Durero, por citar sólo algunos.
Todos ellos, al descubrir la perspectiva crean la necesidad de sentar las bases
formales en la que se asiente la nueva forma de Geometría que esta implica: la
Geometría Proyectiva, cuyos principios fundamentales no aparecerán hasta el
siglo XIX de la mano de Gaspard Monge en primer lugar y sobretodo de
Poncelet.
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Pero es sin duda la aparición de la Geometría Cartesiana lo
que marca la Geometría en la Edad Moderna. Descartes propone un nuevo método de
resolver problemas geométricos, y por extensión, de investigar en Geometría. En
un plano traza dos rectas perpendiculares (ejes) -que por convenio se trazan de
manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical-, y cada punto del
plano queda unívocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada
uno de los ejes, siempre y cuando se de también un criterio para determinar
sobre qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa
distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de números, las
coordenadas, quedará representado por un par ordenado (x,y), siendo x la
distancia a uno de los ejes (por convenio será la distancia al eje vertical) e y
la distancia al otro eje (al horizontal).
En la coordenada x, el signo positivo (que suele omitirse)
significa que la distancia se toma hacia la derecha del eje vertical (eje de
ordenadas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma
hacia la izquierda. Para la coordenada y, el signo positivo (también se suele
omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba del eje horizontal (eje de
abscisas), tomándose hacia abajo si el signo es negativo (tampoco se omite nunca
en este caso). A la coordenada x se la suele denominar abscisa del punto,
mientras que a la y se la denomina ordenada del punto.
Existe una cierta controversia (aun hoy) sobre la verdadera
paternidad de este método. Lo único cierto es que se publica por primera vez
como ""Geometría Analítica"", apéndice al ""Discurso del Método"", de Descartes,
si bien se sabe que Pierre de Fermat conocía y utilizaba el método antes de su
publicación por Descartes. Aunque Omar Khayyam ya en el siglo XI utilizara un
método muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, es
imposible que alguno de los citados matemáticos franceses tuvieran acceso a su
obra.
Lo novedoso de la Geometría Analítica (como también se conoce a
este método) es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas
del tipo f(x,y) = 0, donde f representa una función. En particular, las rectas
pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de grado 1 (v.g.: 2x + 6y = 0) y
las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2
(v.g.: la circunferencia x2 + y2 = 4, la hipérbola xy = 1
). Esto convertía toda la Geometría griega en el estudio de las relaciones que
existen entre polinomios de grados 1 y 2. El Desde un punto de vista formal
(aunque ellos aun lo sabían), los geómetras de esta época han encontrado una
relación fundamental entre la estructura lógica que usaban los geómetras griegos
(el plano, la regla, el compás...) y la estructura algebraica del ideal formado
por los polinomios de grados 0, 1 y 2 del anillo de polinomios , resultando que
ambas estructuras son equivalentes. Este hecho fundamental (no visto con nitidez
hasta el desarrollo del Álgebra Moderna y de la Lógica Matemática entre finales
del siglo XIX y principios del siglo XX) resulta fundamental para entender por
qué la Geometría de los griegos puede desprenderse de sus axiomas y estudiarse
directamente usando la axiomática de Zermelo-Fraenkel, como el resto de la
Matemática.
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Agotamiento del método sintético La aparición de la
Geometría Analítica trae consigo una nueva forma de entender la Geometría. El
nuevo método, algebraico, sustituye al antiguo, el sintético, consistente en
establecer unos axiomas y unas definiciones y deducir de ellos los teoremas. El
método sintético está a estas alturas casi agotado (aunque aun dará algunos
resultados interesantes, como la característica de Euler, la naturaleza de estos
resultados no es ya tanto geométrica como topológica, y los resultados realmente
importantes que se hagan en adelante en el campo de la Geometría ya vendrán de
la mano de métodos algebraicos o diferenciales), da paso al método algebraico:
estudio de los objetos geométricos como representaciones en el espacio de
ciertas ecuaciones polinómicas, o dicho de otro modo, del conjunto de raices de
polinomios. El método sintético sólo volverá a abordarse cuando aparezcan las
geometrías no euclideas, y definitivamente deja de ser un instrumento de
investigación geométrica a principios del siglo XX, quedando relegado a un
conjunto de instrumentos y herramientas para la resolución de problemas, pero ya
como una disciplina cerrada.
Los límites del método algebraico El método algebraico se
ve posibilitado por un avance en Álgebra hecho durante el siglo XVI, la
resolución de las ecuaciones de grado 3º y 4º. Esto permite generalizar la
Geometría, al estudiar curvas que no son dadas por polinomios de segundo grado,
y que no pueden construirse con regla y compás -además de las cónicas,
excluyendo a la circunferencia, claro-. Pero este método, que terminará
constituyendo una disciplina propia, la Geometría Algebraica, tardará aun mucho
-siglo XX- en salir de unas pocas nociones iniciales, prácticamente inalteradas
desde Descartes, Fermat y Newton. La razón será la imposibilidad de resolver por
radicales la ecuación de quinto grado, hecho no descubierto hasta el siglo XIX,
y el desarrollo de la Teoría de Anillos y del Álgebra Conmutativa.
El Cálculo Infinitesimal El método algebraico tiene otra
generalización natural, que es la de considerar una curva no solo como una
ecuación polinómica, sino como una ecuación f(x,y) = 0 en la que el polinomio es
ahora sustituido por una función cualquiera f. La generalización de todo esto
desde el plano (2 coordenadas) al estereoespacio (3 coordenadas) se hace de
forma natural añadiendo un tercer eje perpendicular (eje z) a los dos ya
considerados, y las funciones tomarán la forma f(x,y,z).
Ya Isaak Barrow descubre gracias a la Geometría Analítica la
relación entre la tangente a una curva y el area que encierra entre dos puntos y
los ejes coordenados en su famosa Regla de Barrow, antes incluso de que Newton y
Leibnitz dieran cada uno su exposición del Cálculo Infinitesimal. La relación
entre el Análisis Matemático y la Geometría es así estrechísima desde incluso
los orígenes de aquél. Las ideas geométricas no sólo fueron la base de los
instrumentos iniciales del Cálculo Infinitesimal, sino que fueron en gran medida
su inspiración. Por eso resulta natural que en un primer momento, Descartes,
Newton o los Bernoulli no distinguieran entre los conceptos de curva y de
función de una variable, o de superficie y de función de dos variables (o si se
quiere, de curva y los ceros de una función de dos variables o de superficie y
los ceros de una función de tres variables). Fue Euler el primero en empezar a
intuir la diferencia.
En adelante, y hasta la aparición de Gauss, la Geometría queda
supeditada a sus aplicaciones en Mecánica y otras ramas de la Física por medio
de la resolución de Ecuaciones Diferenciales. En esta época aparece el que será
el caballo de batalla de la Geometría Diferencial, el Teorema de la Función
Implícita.
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Gauss devuelve el caracter geométrico que impregna parte del
Análisis Matemático, fundamentalmente con dos contribuciones: el nacimiento de
la Variable Compleja y de la Geometría Diferencial.
Pero no es son las únicas contribuciones de éste genio al campo de
la Geometría. En su adolescencia se vio dividido entre dedicarse a la Filología
o a la Matemática. A los 17 descubrió la manera de construir el polígono regular
de 17 lados, y la condición necesaria y suficiente para que un polígono regular
pueda construirse. Esto determinó su vocación. En su primera demostración (de
las cinco que realizó a lo largo de su carrera) sentó las bases del Análisis de
Variable Compleja, dando por primera vez la descripción geométrica de los
números complejos como vectores fijos del plano (no en este lenguaje, que será
introducido mucho más tarde). Aunque no es propiamente obra suya, pues la
Variable Compleja está desarrollada fundamentalmente por Cauchy, sí es el
primero en abordarla seriamente, y sobretodo le da una interpretación geométrica
que marcará el desarrollo de esta rama.
Pero la principal contribución de Gauss la la Geometría es la
creación de la Geometría Diferencial, retomando las ideas que sobre las
relaciones entre el Análisis Matemático y la Geometría había hasta entonces y
desarrollándolas ampliamente. Partiendo de la base de que la Geometría estudia
el espacio, las curvas y las superficies, establece la noción fundamental de
curvatura de una superficie. Gracias a ella, y a la definición de geodésica,
demuestra que si consideramos que una geodésica es una curva con menor distancia
entre dos puntos sobre una superficie (es decir, si tenemos dos puntos sobre una
superficie, el camino más corto entre esos dos puntos sin salirnos de la
superficie es un segmento de geodésica), concepto totalmente análogo sobre la
superficie al de recta en el plano, existen superficies en las que los
triángulos formados por las geodésicas miden más de la medida de dos ángulos
rectos, y otras en las que mide menos. Esto, esencialmente, es contradecir el V
postulado de Euclides.
Estas consideraciones llevaron a Gauss a considerar la posibilidad
de crear geometrías no euclideas, pero aunque a esas alturas ya era el
matemático más prestigioso de Europa, consideró que la mantalidad de la época no
estaba preparada para un resultado de tal magnitud, y nunca publicó esos
resultados. Sólo vieron la luz cuando Bolyai publicó su geometría no euclidea, y
comprobó que la comunidad científica general aceptaba el resultado.
Así que, por un lado, Gauss fue el primero en crear una geometría
no euclidea, y por otro fue el creador de la Geometría Diferencial y precursor
de la Variable Compleja.
Además, Gauss es el primero en considerar una nueva propiedad en
la Geometría: la orientación.
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La controversia sobre el V postulado Como ya se ha
adelantado, Gauss es el primero en construir una geometría (un modelo del
espacio) en el que no se cumple el V postulado de Euclides, pero no publica su
descubrimiento. Son Bolyai y Lobatchevsky quienes, de manera independiente y
simultaneamente publican cada uno una geometría distinta en la que no se
verifica tampoco el V postulado. ¿Qué quiere decir esto? Tanto Bolyai como
Lobatchevsky parten de un objeto geometrico y establecen sobre él unos
postulados que son idénticos a los de Euclides en Los Elementos, excepto el
quinto. Pretenden originalmente razonar por reducción al absurdo: si el V
postulado depende de los otros cuatro, cuando lo sustituya por aquél que dice
exactamente lo contrario, he de llegar a alguna contradicción lógica. Lo
sorprendente es que no se llega a contradicción ninguna, lo cual quiere decir
dos cosas:
1º El V postulado es independiente de los otros cuatro, es decir,
no puede deducirse de los otros cuatro, no es un teorema, y Euclides hizo bien
en considerarlo como un postulado.
2º Existen modelos del espacio en los que, en contra de toda
intuición, por un punto que no esté en una cierta recta no pasa una única recta
paralela a la dada. Esto es tremendamente antiintuitivo, pues no podemos
concebir tal cosa, no podemos imaginar (ni mucho menos dibujar) una situación
así, sin reinterpretar los conceptos de recta, plano, etc. Pero desde el punto
de vista lógico es perfectamente válido.
Como es de imaginar, esto supuso una fuerte crisis en la
Matemática del siglo XIX, que vino a sumarse a otras controversias.
Es importante señalar que las geometrías de Bolyai y de
Lobatchevsky, no depende de si se construyen usando métodos analíticos o
sintéticos. Existen formas de construirlas tanto de manera sintética como
analítica. El modelo es el mismo se llegue como se llegue, lo que abunda en su
veracidad.
La trisección del ángulo y la duplicación del cubo Un hecho
aparentemente lejano en Álgebra dará como resultado la resolución de estos dos
problemas. Galois muere a los 21 años de edad dejando un ""testamento"" lleno de
ideas apresuradamente escritas. Entre ellas se encuentran las bases de la Teoría
de Grupos y de la Teoría de Galois. Galois resolvió el problema de encontrar una
fórmula para solucionar las ecuaciones de 5º grado, pero este resultado no llegó
a ser publicado en (su corta) vida. Concluyó que ninguna ecuación de grado 5 o
mayor puede ser resuelta por radicales (es decir, mediante una fórmula). Su
manera de abordar el problema abre una nueva vía dentro de la Matemática.
Pero la Teoría de Galois (una rama del Álgebra que trata sobre
cuándo es posible resolver una ecuación polinómica estudiando el conjunto de
números en los que se expresa esa ecuación) no da sólo esos frutos. También
demuestra que todo lo construible con regla y compás tiene una traducción a
polinomios muy concreta. Se demuestra que trisecar un ángulo o duplicar un cubo
necesita de polinomios que no tienen esa forma, y por lo tanto, es imposible con
la sola ayuda de la regla y el compás trisecar un ángulo cualquiera o duplicar
un cubo.
La cuadratura del círculo En 1862, Lindemann demuestra que
el número p es trascendente, es decir, no puede ser raíz de ningún polinomio con
coeficientes enteros. Esto implica que no es un número que pueda construirse con
regla y compás, y demuestra que no es posible construir con sólo estos
instrumentos un cuadrado de area igual a la de un círculo
dado.
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