AVISO A LOS ALUMNOS CUYOS PADRES ASISTIERON A LA REUNIÓN ESCOLAR DEL 22-03-2013

En atención a la reunión que hubo con los padres de familia el día 22-03-2013
Solamente  los alumnos:

Daniel y Cristobal del 2o.  A
Atzel Yair, Mariana Bermejo, Erick Peña y Arturo Villegas del 2o. B
Yair del 2o. C
Miguel Angel, Mayté y Jacqueline del 2o. D
Adrián, Evelyn  y Carlos Tafoya del 2o E

Deberán realizar los ejercicios :

1).- Del 29-11-2012
2).- Del 05 al 19 de nov 2012
3).- Del 08 al 11 de nov 2012
4).- Del 07-11-2012
5).- Del 03-11-2012
6).- Del 19-09-2012
7).-Del 13-09-2012
8).-Del 12-09-2012

Loa ejercicios deberán buscarlos en este Blog, son actividades que ya se han realizado por todos los demás y se publicaron hace algunas semanas.

Para entregar el día 08 de abril del 2013, en hojas cuadriculadas.

No se reciben trabajos fuera de esta fecha.

Actividad tres de lectura y redacción- marzo 17 del 2013

Después de leer la siguiente información( tomada de la página de la NASA), enuncie brevemente diez características de los agujeros negros mediante un organizador gráfico. Para presentar el martes 19032013.

¿Pero qué son los agujeros negros?

Ilustración artística de un agujero negro, con gas y polvo girando rápidamente a su alrededor antes de ser tragados por su poderoso campo gravitacional. En realidad no se puede ver el agujero negro en sí.

Los agujeros negros en verdad no son agujeros. ¡No están para nada vacíos! Los agujeros negros contienen la mayor cantidad de materia en el menor espacio que ningún otro objeto del universo. Debido a que son tan compactos, tienen una gran fuerza de gravedad.

Aquí en la Tierra, la gravedad es lo que hace que las cosas caigan al suelo, en vez de flotar, cuando las soltamos. La gravedad es lo que medimos cuando nos subimos a una báscula para pesarnos. Tu peso es la cantidad de fuerza que la gravedad de la Tierra ejerce sobre ti. Mientras más materia tenga tu cuerpo, serás más pesado. Del mismo modo, mientras más materia tenga un objeto, mayor será su gravedad.

La gravedad de un agujero negro es tan fuerte que ni siquiera la luz puede escapar. Incluso si una estrella brillante está al lado del agujero negro, éste no se verá. En vez de reflejar la luz como los demás objetos, los agujeros negros tragan la luz estelar para siempre. Los agujeros negros también tragan toda materia que se acerque demasiado.

Hay al menos dos tipos de agujeros negros

Uno de ellos se conoce como agujero negro de masa estelar. Puedes imaginártelo como un agujero negro de "una sola gran estrella". Este tipo de agujero negro se forma cuando una gran estrella consume todo su combustible y explota (esto se conoce como supernova). Luego lo que queda colapsa y se transforma en un objeto súper compacto—un agujero negro. Las estrellas deben contener bastante más materia que nuestro Sol para que esto pueda suceder. Por lo que nuestro Sol, y la mayoría de las estrellas, nunca se convertirán en agujeros negros.

Los agujeros negros de masa estelar sólo tienen unas pocas decenas de kilómetros de ancho—tal vez unas 40 millas. Sólo imagina. Nuestro Sol es tan grande que aproximadamente un millón de Tierras cabrían dentro de él. Una estrella con suficiente materia para convertirse en un agujero negro puede contener 10 veces más materia que el Sol. ¡Ahora imagina que una estrella con tal cantidad de materia se encoge hasta caber en un espacio que podríamos recorrer en menos de una hora en automóvil!

¡Un agujero negro con toda la masa de la Tierra tendría el tamaño de una uña!

Otro tipo de agujero negro se conoce como agujero negro súper masivo. Puedes imaginártelo como un agujero negro de "un millón de grandes estrellas", ¡porque contiene tanta materia como 1 millón a 100 millones de soles! Los astrónomos creen que los agujeros negros súper masivos acechan en el centro de las galaxias, incluyendo nuestra propia Vía Láctea. Ellos aún no saben cómo se forman estos gigantescos agujeros negros.

Aprende más sobre los agujeros negros

Los científicos realmente desean aprender más sobre los agujeros negros y otros objetos extraños y de gran masa del universo.

Ilustración artística del Telescopio Espacial XMM Newton . Imagen cortesía de D. Ducros y la Agencia Espacial Europea (ESA).

Una mision espacial que está ayudando a hacer eso es un telescopio espacial llamadoXMM-Newton. Fue lanzado hacia la órbita terrestre en 1999 por la NASA y la Agencia Espacial Europea. El telescopio observa el universo en rayos X de alta energía, un tipo de luz que no podemos ver con nuestros ojos. La materia, como el gas y las partículas de polvo, cerca de los agujeros negros libera rayos X mientras gira a la velocidad de la luz justo antes de que el agujero negro se la trague. Al observar estos rayos X, el telescopio XMM puede ayudar a los científicos a comprender los agujeros negros.

Actividad 2 de Lectura y redacción- 16 de marzo del 2013

El siguiente texto nos muestra un panorama muy general acerca de la aplicación de las matemáticas  en la vida cotidiana, después de realizar la lectura, emita un breve comentario que contenga su punto de vista del tema en cuestión.


Matemáticas Aplicadas a la Vida Cotidiana y otros
Lugares Inesperados


No se requiere de un gran poder
deductivo para concluir que existe una aversión generalizada hacia las matemáticas. La
gran mayoría de los alumnos de preparatoria y de licenciaturas en ciencias sociales y
humanidades experimentan las clases de
matemáticas como entes completamente
ajenos a sus vidas cotidianas y a sus futuros profesionales. Quizá la frase más escuchada por los profesores de estas clases
es: “¿Y eso para qué me va a servir?” El
problema no radica en que el estudiante no
conozca las aplicaciones de las matemáticas en ese momento, sino que lo más probable es que pase el resto de su vida sin
conocerlas. El propósito de este escrito es
presentar una serie de ejemplos de posibles aplicaciones a situaciones de la vida
cotidiana, así como a disciplinas que tradicionalmente se han considerado como ajenas al mundo de las matemáticas, en un afán
de contestar a esta eterna pregunta.
Continuando con la pasarela de frases célebres entre los alumnos de prepa,
está aquella que dice: “Sí, ya me veo do álgebra para ir al súper”. Eso puede ser
verdad en la mayoría de los casos, pero si
pides una factura y necesitas el IVA
desglosado, tendrás que confiar ciegamente en las habilidades del empleado de la tienda, a menos que sepas cómo despejar la ecuación
que te da el precio después del
IVA (nota: el precio antes del IVA
no es 85% del precio final sino
(precio final)/1.15).
¿No vas a necesitar una factura
nunca en tu vida? Aún así las matemáticas
te pueden llegar a servir. Seguramente algún día querrás comprar un automóvil nuevo o una casa, y te enfrentarás con empleados bancarios o vendedores de autos que
te hipnotizarán con promesas de cero intereses y pagos chiquitos para pagar poquito, pero en realidad ¿sabes cuánto estás
pagando por el crédito? Comúnmente entre más benigno parezca un esquema de
crédito es muy probable que la tasa de interés implícita sea más alta, para calcularla
necesitas sólo álgebra de secundaria y  unpoco de paciencia. En estos casos como
en muchos otros, el papel que juegan las
matemáticas en la vida cotidiana es el de
detectar mentiras y engaños.
Estando en el terreno de los enga-
ños, la simple experiencia de leer el perió-
dico o ver las noticias en la televisión es
completamente diferente cuando se sabe un
poco de matemáticas. Por ejemplo, uno de
los temas que los periódicos tratan con gran
frecuencia es el de la pérdida del poder
adquisitivo de los salarios, sin embargo, es
muy común que los reporteros hagan sus
“estimaciones” sin explicar sus metodologías
o la fuente de sus datos. Una vez más, sin
conocimiento matemático, leer el periódico se reduce a un acto de fe.
Así, comprender las nociones bá-
sicas de álgebra y una pizca de matemáticas financieras nos da el poder de desenmascarar las mentiras, engaños y triquiñuelas de vendedores, periodistas y (aún peor)
políticos. Pero vayamos más allá de las situaciones cotidianas que todos hemos de
enfrentar y adentrémonos al terreno del
ejercicio profesional. Hasta hace algunos
años, la aplicación de las matemáticas avanzadas al ejercicio profesional era un terreno restringido de manera casi exclusiva a
las ciencias físicas y a las ingenierías. Sin
embargo este panorama está cambiando de
una forma radical y cada día son más las
disciplinas que están aplicando métodos que
van de la administración cuantitativa a la
psicología matemática, pasando por aplicaciones a la biología, la medicina o la
planeación urbana.
Tradicionalmente los alumnos de las
preparatorias a quienes les interesaba la
ciencia pero no las matemáticas solían estudiar biología, con la firme esperanza de
no volver a ver una fórmula en sus vidas.
Desgraciadamente para ellos, esto se aleja
cada vez más de la realidad, ya que a medida que avanza la biología ésta depende
cada vez más de las herramientas matemá-
ticas para producir modelos de la realidad.
Quizá el ejemplo más famoso de esto es el
de la genética. Aquí los métodos de la teoría de probabilidad se utilizan con fines tan
exóticos como encontrar la distancia evolutiva entre dos especies. Esto es, nos permite saber cuántas generaciones atrás debemos remontarnos para encontrar un
ancestro común a dos especies. Esto se hace
comparando el código genético de las dos
especies y modelando el ritmo con que cambia este código mediante la evolución. Así,
podemos estimar qué tan “lejos” se encuentran evolutivamente una de la otra.

La evolución misma es sujeta a ser
analizada desde un punto de vista matemá-
tico. La teoría de juegos nos ofrece herramientas para explicar partes de la ción que pueden parecernos casi absurdas.
Tomemos como ejemplo lo grave del croar
de los sapos. En los cursos básicos de biología nos enseñan que aquellas especies que
sobreviven son las más aptas. Pero podemos preguntarnos: ¿En qué le ayuda a un
sapo croar de manera más grave? Lo más
probable es que lleguemos a la conclusión
de que no le sirve de nada en la vida diaria.
Sin embargo, los sonidos graves se asocian a lo largo de la historia evolutiva con
sapos grandes. Así un sapo que croara de
manera grave tiene mayor probabilidad de
reproducirse que una con un croar agudo.

Así, con el paso de las generaciones, los sapos adquieren un croar cada vez
más grave ya que de no hacerlo sus genes
no se perpetuarán al no lograr reproducirse. Un caso muy similar es el de los pavo
reales, cuyo plumaje no sirve a ningún propósito más que el de brindarle al macho de
la especie una ventaja en las señales que
manda a las hembras con las que podría
reproducirse. Estos dos ejemplos los hemos logrado describir con palabras; sin
embargo, traducirlos al lenguaje matemático nos permite no sólo escribirlos de una
manera más elegante sino que al resolver el
problema, estamos de hecho resolviendotodos los problemas que se puedan escribir de la misma forma. Es decir, si resolvemos el problema de los sapos y encontramos que el croar seguirá haciéndose más
grave mientras las leyes de la física lo permitan es muy probable que la solución al
problema de los pavo reales sea muy similar. Además, el utilizar un modelo matemá-
tico nos permite complicar las cosas más
allá de lo que podríamos hacer utilizando
sólo palabras. Podemos comenzar a modelar varios atributos en una especie y el
papel que juegan en conjunto en el éxito
para reproducirse de un individuo y así encontrar que características que prevalecerán en el futuro evolutivo de esa especie.
La teoría de juegos es una herramienta de las matemáticas aplicadas que no
sólo se aplica a la biología, sino que se ha
enriquecido de ella. Al tomar algunas de las
ideas de la evolución ha logrado avances
importantes en aplicaciones en la ciencia
política y la economía. Una aplicación directa (y sumamente simplificada) del ejemplo de los sapos se puede hacer a los partidos políticos de la siguiente forma: si suponemos que un partido prometió únicamente lo que es estrictamente posible cumplir, otro partido puede beneficiarse en nú-
mero de votos prometiendo un poco más,
lo que provocará que el primero prometa
aún más y así sucesivamente… hasta que
las promesas de campaña sean como el plumaje de los pavo reales.
Si bien hoy en día a casi nadie lesorprende la aplicación de las matemáticas
a las ciencias económicas, lo que sí es sorprendente es la sofisticación de las matemáticas utilizadas. Cuando se leen las convocatorias para hacer estudios de posgrado
en economía, tanto en Inglaterra como en
Estados Unidos, las universidades parecen
más preocupadas porque los aspirantes
manejen el álgebra lineal y el cálculo de
varias variables que los principios de la economía. Algunas incluso sugieren que es útil
que los aspirantes sepan un poco de análisis. Esto no ha de sorprendernos después
de hojear una revista especializada prácticamente en cualquier área de la economía.
La intensidad del uso de modelos matemá-
ticos en estas disciplinas es comparable sólo
con el de las ciencias físicas. Este paralelo
entre las ciencias económicas y las ciencias
físicas va más allá de la profundidad o complejidad de las herramientas utilizadas, en
muchas ocasiones las herramientas son las
mismas. Por ejemplo, la macroeconomía ha
tomado prestada de la ingeniería la teoría
de control óptimo como una de las herramientas más ampliamente utilizadas y las finanzas han tomado la teoría del movimiento Browniano como una de sus piedras angulares. Así cada vez más el perfil de los
economistas se aleja más de aquel individuo que leía tomo tras tomo de las teorías
de Ricardo, Smith, Marx y Mill, y se acerca más al del estudiante de ingeniería que
deambula por las universidades con un
grueso tomo en cuyo lomo se aprecia la
palabra “Cálculo”.

Hasta ahora hemos considerado
aplicaciones en disciplinas que podríamos
considerar como puramente académicas,
sin embargo la historia difícilmente acaba
ahí. Uno de los conceptos que más se utilizan en la administración moderna es el manejo de inventarios “just in time”. Este esquema sería absolutamente impensable sin
la ayuda de la investigación de operaciones. Esta disciplina nos permite diseñar desde la distribución de los productos en las
bodegas, hasta las rutas que han de seguir
los camiones repartidores para optimizar los
recursos disponibles. Utilizando información
sobre la cantidad que se vende de un cierto
producto cada día, podemos mantener
inventarios mínimos y así disminuir
drásticamente los costos de almacenamiento. Es gracias a estas herramientas que las
existencias de muchos supermercados consisten de sólo aquello que está en exhibición, lo que evita que inviertan en grandes
áreas de almacenamiento en sus sucursales. Más allá de la maximización de ganancias, existen industrias completas que dependen de la investigación de operaciones
para sobrevivir. El caso arquetípico de esto
lo constituyen las aerolíneas. El margen de
utilidad bajo el que operan estas empresases muy estrecho y además están sujetas a
algunas regulaciones sumamente estrictas,
tanto en los estándares de sus equipos,
como en la cantidad de horas que puede
estar en el aire cualquier miembro de las
tripulaciones. Así, se enfrentan con problemas complejísimos de asignar las tripulaciones de tal forma que no se violen las reglas internacionales, pero al mismo tiempo
no darle a su personal mucho más tiempo
en tierra del estrictamente necesario, ya que
esto significa un costo significativo para las
empresas. A tal grado es importante la
optimización de recursos en las aerolíneas
que inclusive la cantidad de sobreventa de
boletos se optimiza.
Hemos, hasta ahora, considerado
aplicaciones de las matemáticas “hacia afuera”, esto es, aplicaciones a otras ramas del
conocimiento. Sin embargo, vale la pena
considerar que otro lugar inesperado de
aplicación de las matemáticas son las matemáticas mismas. Esto, que de inicio puede parecer redundante no lo es. En el desarrollo de conocimiento nuevo dentro de
las matemáticas (puras o aplicadas) con frecuencia se encuentra apoyo en otras ramas
de la disciplina que uno nunca esperaría.
Por ello, la especialización necia que sólose concentra en un área muy específica y
se olvida del resto de los conocimientos matemáticos representa un riesgo. Frecuentemente en áreas distantes se encuentra la
respuesta que se busca, de la misma forma
que las demás disciplinas encuentran en las
matemáticas (un área que creen muy distante) las respuestas que ellas buscan.
En nuestro recorrido por las aplicaciones de las matemáticas hemos pasado del supermercado a la agencia de coches, al laboratorio de biotecnología, por
las promesas de campaña y por la
sobrevivencia de las aerolíneas. Esta breve
semblanza no pretende de manera alguna
ser una exposición exhaustiva de las aplicaciones de las matemáticas, sino solamente
una exposición inicial que permita al lector
advertir la multiplicidad de lugares donde,
de manera inesperada, las matemáticas pueden surgir como herramientas útiles (y hasta necesarias). Es nuestra esperanza que el
lector adverso a las matemáticas se interese en ellas por el simple hecho de que le
serán útiles en la vida y que el lector que es
ya un amante de las matemáticas, sienta la
curiosidad por explorar aplicaciones poco
conocidas o poco convencionales de esta
maravillosa ciencia.

Para las personas que les falta realizar su cuestionario de funciones.

Conteste las siguientes preguntas del cuestionario que se plantea a continuación:

1.- Desde el punto de vista de las matemáticas,¿Que entiende por función?

2.-¿Cuántas tipos de variables tiene una función?

3.-¿Que es la variable independiente de una función?

4.-¿Que entiende por variable dependiente de una función?

5.-¿Cuántos tipos de funciones conoce?

6.-¿Cuales tipos de funciones conoce?

7.-¿Que es el rango de una función?

8.-¿Que entiende por el dominio de una función?

9.-¿Que es una función lineal?

10 ¿Que es una familkia de rectas?





Recuerde buscar en páginas que aporten resultados reales y que sean completamente confiables.

                                                                                                                                Buena Suerte.

HISTORIA DE LA GEOMETRIA

ACTIVIDAD 5  DE LECTURA Y REDACCIÓN. Lea la Historia de la Geometría  primero y a continuación elabore un mapa conceptual que incluya las diferentes etapas de esta Historia, resaltando los aspectos más importantes de la lectura, no omita ningún período de  lo  anterior. Suerte. Es razonable pensar que los primeros orígenes de la Geometría se encuentran en los mismos orígenes de la humanidad, pues seguramente el hombre primitivo clasificaba -aun de manera inconsciente- los objetos que le rodeaban según su forma. En la abstracción de estas formas comienza el primer acercamiento -informal e intuitivo- a la Geometría. Las primeras civilizaciones mediterraneas adquieren poco a poco ciertos conocimientos geométricos de caracter muy práctico. Estos son esencialmente algunas fórmulas -o mejor dicho algoritmos expresados en forma de ""receta""- para calcular areas y longitudes. La finalidad era práctica, pues se pretendía con ello calcular la producción proporcional de las parcelas de tierra para determinar los impuestos, o reconstruir las parcelas de tierra después de las inundaciones. Siempre se ha dicho que los egipcios tenían una alta formación matemática, y se ha llegado a insinuar que tuvieran un acervo de conocimientos secretos o que se hubieran perdido con el paso de los tiempos. Estas hipótesis nunca han sido confirmadas, y los documentos existentes tienden a echarlas por tierra. La Historia nos hace pensar que el conocimiento que esta civilización -así como los de las culturas mesopotámicas- tuviera sobre Geometría pasó integramente a la cultura griega a traves de Tales, los pitagóricos, y esencialmente de Euclides.

En efecto, Tales permaneció en Egipto una larga temporada de su vida, aprendiendo de los sacerdotes y escribas egipcios todo lo referente a sus conocimientos en general, y estos quedaron asombrados cuando fue capaz de medir la altura de la Pirámide de Keops y de predecir un eclipse solar. La Geometría Griega fue la primera en ser formal. Parte de los conocimientos concretos y prácticos de las civilizaciones egipcia y mesopotámicas, y da un paso de abstracción al considerar los objetos como entes ideales -un cuadrado cualquiera, en lugar de una pared cuadrada concreta, un círculo en lugar del ojo de un pozo...- que pueden ser manipulados mentalmente, con la sola ayuda de la regla y el compás. Aparece por primera vez la demostración como justificación de la veracidad de un conocimiento, aunque en un primer momento fueran más justificaciones intuitivas que verdaderas demostraciones formales. La figura de Pitágoras y de la secta por él creada (los pitagóricos) tiene un papel central, pues eleva a la categoría de elemento primigenio el concepto de número (filosofía que de forma más explícita o más implícita, siempre ha estado dentro de la Matemática y de la Física), arrastrando a la Geometría al centro de su doctrina -en este momento inicial de la historia de la Matemática aun no hay una distinción clara entre Geometría y Aritmética-, y asienta definitivamente el concepto de demostración (éste ya sí coincide con el concepto de demostración formal) como única vía de establecimiento de la verdad en Geometría. Esta actitud permitió (aun fuera de la secta) la medición de la tierra por Eratóstenes, así como la medición de la distancia a la luna, y la invención de la palanca por Arquímedes, varios siglos después. En el seno de la secta de los pitagóricos surge la primera crisis de la Matemática: la aparición de los inconmensurables, pero esta crisis es de caracter más aritmético que geométrico. Surge entonces un pequeño problema a nivel lógico, que consiste en lo siguiente: una demostración parte de una o varias hipótesis para obtener un resultado denominado tesis. La veracidad de la tesis dependerá de la validez del razonamiento con el que se ha extraido (esto será estudiado por Aristóteles al crear la Lógica) y de la veracidad de las hipótesis. Pero entonces debemos de partir de hipótesis ciertas para poder afirmar con rotundidad la tesis. Para poder determinar la veracidad de las hipótesis, habrá que considerar cada una como tesis de otro razonamiento, cuyas hipotesis deberemos también comprobar. Se entra aparentemente en un proceso sin fin en el que, indefinidamente, las hipótesis se convierten en tesis a probar.

Euclides, vinculado al Museo de Alejandría y a su Biblioteca, zanja la cuestión al proponer un sistema de estudio en el que se da por sentado la veracidad de ciertas proposiciones por ser intuitivamente claras, y deducir de ellas todos los demás resultados. Sus sitema se sintetiza en su obra cumbre, ""Los Elementos"", modelo de sistema axiomático-deductivo. Sobre tan sólo cinco postulados y las definiciones que precisa construye toda la Geometría y la Aritmética conocidas hasta el momento. Su obra, en 13 volúmenes, perdurará como única verdad geométrica hasta entrado el siglo XIX. Entre los postulados en los que Euclides se apoya hay uno (el quinto postulado) que trae problemas desde el principio. Su veracidad está fuera de toda duda, pero tal y como aparece expresado en la obra, muchos consideran que seguramente puede deducirse del resto de postulados. Durante los siguientes siglos, uno de los principales problemas de la Geometría será determinar si el V postulado es o no independiente de los otros 4, es decir, si es necesario considerarlo como un postulado o es un teorema, es decir, puede deducirse de los otros, y por lo tanto colocarse entre el resto de resultados de la obra.

Euclides casi cierra definitivamente la Geometría griega - y por extensión la del mundo antiguo y medieval-, a excepción de la figura de Arquímedes, que estudió ampliamente las secciones cónicas, introduciendo en la Geometría las primeras curvas que no eran ni rectas ni circunferencias.

LOS TRES PROBLEMAS DE LA ANTIGUEDAD

La Geometría griega es incapaz de resolver tres famosos problemas que heredarán los matemáticos posteriores. Es importante observar que los tres problemas deben ser resueltos utilizando únicamente la regla y el compás, únicos intrumentos (además del papel y el lápiz, por supuesto) válidos en la Geometría de Euclides. Además de los tres problemas, la disputa de si el V postulado era o no un teorema (de si se podía o no deducir de los otros cuatro) también se considera uno de los problemas clásicos de la Geometría griega. Estos tres problemas son los siguientes La duplicación en el cubo Cuenta la leyenda que la peste asolaba la ciudad de Atenas. Una embajada de la ciudad fue al Oráculo de Delfos, consagrado a Apolo, para consultar con la pitonisa qué se debía hacer para erradicar la mortal enfermedad. La pitonisa, tras consultar al Oráculo, dijo que se debía duplicar el altar consagrado a Apolo en la isla de Delos. El altar tenía una peculiaridad: su forma cúbica. Prontamente, los atenienses construyeron un altar cúbico en el que las medidas de los lados eran el doble de las medidas del altar de Delos, pero la peste no cesó. Consultado de nuevo el Oráculo, la pitonisa advirtió a los atenienses que el altar no era el doble de grande, sino 8 veces mayor, puesto que el volumen del cubo es el cubo de su lado ((2l)3 = 8l3). Nadie supo cómo construir un cubo cuyo volumen fuese exactamente el doble del volumen de otro cubo dado, y el problema persistió durante siglos. La trisección del ángulo Este problema consiste en conseguir dividir un ángulo dado cualquiera en tres ángulos iguales, de manera que la suma de las medidas de los nuevos tres ángulos sea exactamente la medida del primero. Nadie supo cómo hacerlo. La cuadratura del círculo Se trata de obtener, dado un círculo, un cuadrado cuya area mide exactamente lo mismo que el area del círculo. Anaxágoras fue el primero en intentar resolverlo, dibujando en las paredes de su celda cuando fue hecho prisionero por cuestiones políticas. Tampoco pudo ser resuelto por los geómetras de la antigüedad, y llegó a ser el paradigma de lo imposible. Como curiosidad, el filósofo inglés Hume llegó a escribir un libro con supuestos métodos para resolver el problema. Hume no tenía conocimientos matemáticos serios, y nunca aceptó que todos sus métodos fallaban.

Durante los siguientes siglos la Matemática comienza nuevos caminos - Álgebra y Trigonometría - de la mano de indios y árabes, y la Geometría apenas tiene nuevas aportaciones, excepto algunos teoremas de caracter más bien anecdótico. En Occidente, a pesar de que la Geometría es una de las siete Artes Liberales (encuadrada concretamente en el Quadrivium), las escuelas y universidades se limitan a enseñar ""Los Elementos"", y no hay aportaciones, excepto tal vez en la investigación sobre la disputa del V postulado. Si bien no se llegó a dilucidar en este periodo si era o no idependiente de los otros cuatro, sí se llegaron a dar nuevas formulaciones equivalentes de este postulado.

Es en el Renacimiento cuando las nuevas necesidades de representación del arte y de la técnica empujan a ciertos humanistas a estudiar propiedades geométricas para obtener nuevos intrumentos que les permitan representar la realidad. Aquí se enmarca la figura del matemático y arquitecto Lucca Pacioli, de Leonardo da Vinci o de Alberto Durero, por citar sólo algunos. Todos ellos, al descubrir la perspectiva crean la necesidad de sentar las bases formales en la que se asiente la nueva forma de Geometría que esta implica: la Geometría Proyectiva, cuyos principios fundamentales no aparecerán hasta el siglo XIX de la mano de Gaspard Monge en primer lugar y sobretodo de Poncelet.

Pero es sin duda la aparición de la Geometría Cartesiana lo que marca la Geometría en la Edad Moderna. Descartes propone un nuevo método de resolver problemas geométricos, y por extensión, de investigar en Geometría. En un plano traza dos rectas perpendiculares (ejes) -que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical-, y cada punto del plano queda unívocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se de también un criterio para determinar sobre qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de números, las coordenadas, quedará representado por un par ordenado (x,y), siendo x la distancia a uno de los ejes (por convenio será la distancia al eje vertical) e y la distancia al otro eje (al horizontal). En la coordenada x, el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se toma hacia la derecha del eje vertical (eje de ordenadas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada y, el signo positivo (también se suele omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba del eje horizontal (eje de abscisas), tomándose hacia abajo si el signo es negativo (tampoco se omite nunca en este caso). A la coordenada x se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la y se la denomina ordenada del punto. Existe una cierta controversia (aun hoy) sobre la verdadera paternidad de este método. Lo único cierto es que se publica por primera vez como ""Geometría Analítica"", apéndice al ""Discurso del Método"", de Descartes, si bien se sabe que Pierre de Fermat conocía y utilizaba el método antes de su publicación por Descartes. Aunque Omar Khayyam ya en el siglo XI utilizara un método muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, es imposible que alguno de los citados matemáticos franceses tuvieran acceso a su obra. Lo novedoso de la Geometría Analítica (como también se conoce a este método) es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x,y) = 0, donde f representa una función. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de grado 1 (v.g.: 2x + 6y = 0) y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (v.g.: la circunferencia x2 + y2 = 4, la hipérbola xy = 1 ). Esto convertía toda la Geometría griega en el estudio de las relaciones que existen entre polinomios de grados 1 y 2. El Desde un punto de vista formal (aunque ellos aun lo sabían), los geómetras de esta época han encontrado una relación fundamental entre la estructura lógica que usaban los geómetras griegos (el plano, la regla, el compás...) y la estructura algebraica del ideal formado por los polinomios de grados 0, 1 y 2 del anillo de polinomios , resultando que ambas estructuras son equivalentes. Este hecho fundamental (no visto con nitidez hasta el desarrollo del Álgebra Moderna y de la Lógica Matemática entre finales del siglo XIX y principios del siglo XX) resulta fundamental para entender por qué la Geometría de los griegos puede desprenderse de sus axiomas y estudiarse directamente usando la axiomática de Zermelo-Fraenkel, como el resto de la Matemática.

Agotamiento del método sintético La aparición de la Geometría Analítica trae consigo una nueva forma de entender la Geometría. El nuevo método, algebraico, sustituye al antiguo, el sintético, consistente en establecer unos axiomas y unas definiciones y deducir de ellos los teoremas. El método sintético está a estas alturas casi agotado (aunque aun dará algunos resultados interesantes, como la característica de Euler, la naturaleza de estos resultados no es ya tanto geométrica como topológica, y los resultados realmente importantes que se hagan en adelante en el campo de la Geometría ya vendrán de la mano de métodos algebraicos o diferenciales), da paso al método algebraico: estudio de los objetos geométricos como representaciones en el espacio de ciertas ecuaciones polinómicas, o dicho de otro modo, del conjunto de raices de polinomios. El método sintético sólo volverá a abordarse cuando aparezcan las geometrías no euclideas, y definitivamente deja de ser un instrumento de investigación geométrica a principios del siglo XX, quedando relegado a un conjunto de instrumentos y herramientas para la resolución de problemas, pero ya como una disciplina cerrada. Los límites del método algebraico El método algebraico se ve posibilitado por un avance en Álgebra hecho durante el siglo XVI, la resolución de las ecuaciones de grado 3º y 4º. Esto permite generalizar la Geometría, al estudiar curvas que no son dadas por polinomios de segundo grado, y que no pueden construirse con regla y compás -además de las cónicas, excluyendo a la circunferencia, claro-. Pero este método, que terminará constituyendo una disciplina propia, la Geometría Algebraica, tardará aun mucho -siglo XX- en salir de unas pocas nociones iniciales, prácticamente inalteradas desde Descartes, Fermat y Newton. La razón será la imposibilidad de resolver por radicales la ecuación de quinto grado, hecho no descubierto hasta el siglo XIX, y el desarrollo de la Teoría de Anillos y del Álgebra Conmutativa. El Cálculo Infinitesimal El método algebraico tiene otra generalización natural, que es la de considerar una curva no solo como una ecuación polinómica, sino como una ecuación f(x,y) = 0 en la que el polinomio es ahora sustituido por una función cualquiera f. La generalización de todo esto desde el plano (2 coordenadas) al estereoespacio (3 coordenadas) se hace de forma natural añadiendo un tercer eje perpendicular (eje z) a los dos ya considerados, y las funciones tomarán la forma f(x,y,z). Ya Isaak Barrow descubre gracias a la Geometría Analítica la relación entre la tangente a una curva y el area que encierra entre dos puntos y los ejes coordenados en su famosa Regla de Barrow, antes incluso de que Newton y Leibnitz dieran cada uno su exposición del Cálculo Infinitesimal. La relación entre el Análisis Matemático y la Geometría es así estrechísima desde incluso los orígenes de aquél. Las ideas geométricas no sólo fueron la base de los instrumentos iniciales del Cálculo Infinitesimal, sino que fueron en gran medida su inspiración. Por eso resulta natural que en un primer momento, Descartes, Newton o los Bernoulli no distinguieran entre los conceptos de curva y de función de una variable, o de superficie y de función de dos variables (o si se quiere, de curva y los ceros de una función de dos variables o de superficie y los ceros de una función de tres variables). Fue Euler el primero en empezar a intuir la diferencia. En adelante, y hasta la aparición de Gauss, la Geometría queda supeditada a sus aplicaciones en Mecánica y otras ramas de la Física por medio de la resolución de Ecuaciones Diferenciales. En esta época aparece el que será el caballo de batalla de la Geometría Diferencial, el Teorema de la Función Implícita.

Gauss devuelve el caracter geométrico que impregna parte del Análisis Matemático, fundamentalmente con dos contribuciones: el nacimiento de la Variable Compleja y de la Geometría Diferencial. Pero no es son las únicas contribuciones de éste genio al campo de la Geometría. En su adolescencia se vio dividido entre dedicarse a la Filología o a la Matemática. A los 17 descubrió la manera de construir el polígono regular de 17 lados, y la condición necesaria y suficiente para que un polígono regular pueda construirse. Esto determinó su vocación. En su primera demostración (de las cinco que realizó a lo largo de su carrera) sentó las bases del Análisis de Variable Compleja, dando por primera vez la descripción geométrica de los números complejos como vectores fijos del plano (no en este lenguaje, que será introducido mucho más tarde). Aunque no es propiamente obra suya, pues la Variable Compleja está desarrollada fundamentalmente por Cauchy, sí es el primero en abordarla seriamente, y sobretodo le da una interpretación geométrica que marcará el desarrollo de esta rama. Pero la principal contribución de Gauss la la Geometría es la creación de la Geometría Diferencial, retomando las ideas que sobre las relaciones entre el Análisis Matemático y la Geometría había hasta entonces y desarrollándolas ampliamente. Partiendo de la base de que la Geometría estudia el espacio, las curvas y las superficies, establece la noción fundamental de curvatura de una superficie. Gracias a ella, y a la definición de geodésica, demuestra que si consideramos que una geodésica es una curva con menor distancia entre dos puntos sobre una superficie (es decir, si tenemos dos puntos sobre una superficie, el camino más corto entre esos dos puntos sin salirnos de la superficie es un segmento de geodésica), concepto totalmente análogo sobre la superficie al de recta en el plano, existen superficies en las que los triángulos formados por las geodésicas miden más de la medida de dos ángulos rectos, y otras en las que mide menos. Esto, esencialmente, es contradecir el V postulado de Euclides. Estas consideraciones llevaron a Gauss a considerar la posibilidad de crear geometrías no euclideas, pero aunque a esas alturas ya era el matemático más prestigioso de Europa, consideró que la mantalidad de la época no estaba preparada para un resultado de tal magnitud, y nunca publicó esos resultados. Sólo vieron la luz cuando Bolyai publicó su geometría no euclidea, y comprobó que la comunidad científica general aceptaba el resultado. Así que, por un lado, Gauss fue el primero en crear una geometría no euclidea, y por otro fue el creador de la Geometría Diferencial y precursor de la Variable Compleja. Además, Gauss es el primero en considerar una nueva propiedad en la Geometría: la orientación.

La controversia sobre el V postulado Como ya se ha adelantado, Gauss es el primero en construir una geometría (un modelo del espacio) en el que no se cumple el V postulado de Euclides, pero no publica su descubrimiento. Son Bolyai y Lobatchevsky quienes, de manera independiente y simultaneamente publican cada uno una geometría distinta en la que no se verifica tampoco el V postulado. ¿Qué quiere decir esto? Tanto Bolyai como Lobatchevsky parten de un objeto geometrico y establecen sobre él unos postulados que son idénticos a los de Euclides en Los Elementos, excepto el quinto. Pretenden originalmente razonar por reducción al absurdo: si el V postulado depende de los otros cuatro, cuando lo sustituya por aquél que dice exactamente lo contrario, he de llegar a alguna contradicción lógica. Lo sorprendente es que no se llega a contradicción ninguna, lo cual quiere decir dos cosas: 1º El V postulado es independiente de los otros cuatro, es decir, no puede deducirse de los otros cuatro, no es un teorema, y Euclides hizo bien en considerarlo como un postulado. 2º Existen modelos del espacio en los que, en contra de toda intuición, por un punto que no esté en una cierta recta no pasa una única recta paralela a la dada. Esto es tremendamente antiintuitivo, pues no podemos concebir tal cosa, no podemos imaginar (ni mucho menos dibujar) una situación así, sin reinterpretar los conceptos de recta, plano, etc. Pero desde el punto de vista lógico es perfectamente válido. Como es de imaginar, esto supuso una fuerte crisis en la Matemática del siglo XIX, que vino a sumarse a otras controversias. Es importante señalar que las geometrías de Bolyai y de Lobatchevsky, no depende de si se construyen usando métodos analíticos o sintéticos. Existen formas de construirlas tanto de manera sintética como analítica. El modelo es el mismo se llegue como se llegue, lo que abunda en su veracidad. La trisección del ángulo y la duplicación del cubo Un hecho aparentemente lejano en Álgebra dará como resultado la resolución de estos dos problemas. Galois muere a los 21 años de edad dejando un ""testamento"" lleno de ideas apresuradamente escritas. Entre ellas se encuentran las bases de la Teoría de Grupos y de la Teoría de Galois. Galois resolvió el problema de encontrar una fórmula para solucionar las ecuaciones de 5º grado, pero este resultado no llegó a ser publicado en (su corta) vida. Concluyó que ninguna ecuación de grado 5 o mayor puede ser resuelta por radicales (es decir, mediante una fórmula). Su manera de abordar el problema abre una nueva vía dentro de la Matemática. Pero la Teoría de Galois (una rama del Álgebra que trata sobre cuándo es posible resolver una ecuación polinómica estudiando el conjunto de números en los que se expresa esa ecuación) no da sólo esos frutos. También demuestra que todo lo construible con regla y compás tiene una traducción a polinomios muy concreta. Se demuestra que trisecar un ángulo o duplicar un cubo necesita de polinomios que no tienen esa forma, y por lo tanto, es imposible con la sola ayuda de la regla y el compás trisecar un ángulo cualquiera o duplicar un cubo. La cuadratura del círculo En 1862, Lindemann demuestra que el número p es trascendente, es decir, no puede ser raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros. Esto implica que no es un número que pueda construirse con regla y compás, y demuestra que no es posible construir con sólo estos instrumentos un cuadrado de area igual a la de un círculo dado.

Cuestionario (Actividad de lectura y redacción 4)

CONTESTE LAS SIGUIENTES CUESTIONES:

1.- ¿Que es el Sol?

2.-¿ Cuál es su composición?

3.-¿Cuáles son las partes más importantes del Sol?

4.- ¿Que son las manchas solares?

5.-¿ Que es la corona solar?

6.- ¿Que entienda por tormenta Solar?

7.-¿ Que es la Cromósfera?

8.-¿Que es la fotósfera?

9.- ¿ Que son los fotones?

10.-¿Cuál es la temperatura promedio de la corona Solar?

Datos curiosos del Sol

El Sol

El Sol es la estrella más cercana a la Tierra, y es el centro de nuestro Sistema Solar. El Sol, una gigante bola giratoria de gas muy caliente, es energizado por reacciones de fusión nuclear. La luz del Sol calienta nuestro planeta y hace posible la vida. El Sol es también una estrella activa con manchas solares, destellos solares, prominencias, and eyecciones de masa coronal. Estos fenómenos, todos relacionados con el campo magnetico del Sol, impactan el espacio cercano a la Tierra y determinan nuestro "clima espacial". En unos cinco mil millones de años, el Sol evolverá en una Gigante Roja y, eventualmente, en una estrella Enana Blanca. Muchas culturas han tenido mitos interesantes sobre el Sol, reconociendo su importancia para la vida en la Tierra.

El Interior del Sol

Para entender como funciona nuestro Sol, ayuda imaginar al interior del Sol formado por diferentes capas, una dentro de la otra. El núcleo , o centro del Sol, es la región donde se produce la energía del Sol. En la Tierra sabemos que el Sol produce energía por que vemos la luz y sentimos calor en un día de verano.La energía del Sol, producida en el núcleo, viaja hacia afuera. La energía viaja primero por la zona radiativa, donde las partículas de luz (fotones) transportan la energía. Un fotón demora millones de años para llegar a la próxima capa,la zona de convección. En la zona de convección , la energía viaja más rápido. Ahora son los movimientos de los gases del Sol los que transportan la energía hacia afuera. El gas en esta capa se mezcla y burbujea, como el movimiento de una olla de agua hirviendo. Este efecto burbujeante se ve en la superficie del Sol , y se llama granulación. No podemos ver el interior del Sol. Así es que los científicos usan otros diagnósticos. Estos diagnósticos nos ayudan a saber lo que hay dentro del Sol.

La Atmósfera Solar

La atmósfera solar visible tiene tres regiones: la fotósfera, la cromósfera, y la corona solar. La mayoría de la luz (blanca) visible proviene de la fotósfera. Esta es la parte del sol que podemos ver. La cromósfera y la corona también emiten luz blanca, y pueden ser vistas cuando la luz de la fotósfera es bloqueada, tal y como ocurre en un eclipse solar . El Sol también emite radiación electromagnética en otras longitudes de ondas. Diferentes tipos de radiaciones (tales como: radio, ultravioletas, Rayos-x y Rayos Gamma), se originan en diferentes partes del Sol. Los científicos usan instrumentos especiales para detectar estas radiaciones y estudiar las diferentes partes de la atmósfera solar.
La atmósfera solar es tan caliente que el gas se encuentra, basicamente, en estado de plasma: los electrones ya no están ligados a los núcleos atómicos, y el gas está formado por partículas con cargas (principalmente protones y electrones). En este estado cargado, la atmósfera solar es muy influenciada por el fuerte campo magnético solar que la envuelve. Estos campos magnéticos, y la atmósfera exterior solar (la corona), se extienden hacia el espacio interplanetario como parte del viento solar.